摺紙地理學：邊河法簡介

最近我在 Discord 上面跟一些摺紙同好討論了我的邊河法（ERM）並得到了一些不錯的回應，甚至開始有看到若干成功的設計從中浮出，因此我想該是時候來簡單寫一下這個主題的文章了。我在這邊的目標是要快速給個概念關於 ERM 到底是在講什麼、而避免太深入地討論技術性與數學性的細節。我會假定讀者充分地熟悉樹狀方法（由 Robert J. Lang、目黑俊幸等人所發展）。

概述

簡單來說，ERM 是將樹狀方法推廣到任何摺紙設計、無論是單軸或非單軸的設計。粗略而言，樹狀方法可以視為是由下面步驟所構成的設計過程：

1. 將目標主題表示成樹狀結構。
2. 解決圓河包裝問題、以決定出紙張上的區域和樹狀結構中的元件之對應關係。
3. 對於包裝構造出可以摺平的摺痕模式，使得紙張能收合成與樹狀結構形似的基本形。存在一個通用的演算法能夠從任何有效的包裝構造出展開圖，但圓河包裝的概念也可以套用在箱形褶、六角褶和 22.5° 系統的框架之上。

雖然這是非常強大的設計方法，它有一個基本假設在於想要的主題充分程度地形如一個樹狀結構、或稱為枝狀結構，也就是大部份都是由細長的肢體構成的。圖一左邊的動物就會是適合的題材，但是像右邊這種具有較粗大身體的就相對比較不適合（但也非不可能，因為在單軸設計的領域當中也有著標高和移階器的概念，使得樹狀方法的能限被推廣到更多課題之上）。

另一方面，像圖二這樣的汽車這種的三維結構就幾乎不可能適用於樹狀方法的框架。（注意到我們可以將輪胎表示成一維的角片，因為我們知道將角片壓平便可以得到圓形紙片）。

因此，很自然地可以將樹狀結構的概念推廣成我所謂的抽象形。粗略而言（我在這邊省去嚴格的數學定義），一個抽象形是指由一維邊、二維多邊形和三維多面體組成的連通集結。（樹狀結構於是就是僅由一維元件構成的特例。）我們可以將抽象形視為是設計者針對摺出基本形想要的形狀所給出的規格。一個同時具有一維到三維元件的抽象形例子會是一個上面有旗子的房屋，如圖三所示。房子本身是三維的，旗子是二維的，而旗竿是一維的。

（在我們繼續之前，你可能會想要思考一下要怎麼在正方形的紙張上有效率地設計出這個抽象形；這是一個很好的習題。）

然後，我們可以說 ERM 就是由下面這些和樹狀方法類似的步驟組成的：

1. 將目標主題表示成抽象形。
2. 解決湖河包裝問題、以決定出紙張上的區域和抽象形中的元件之對應關係。其解答稱之為地圖。
3. 構造出摺痕模式（未必是可以摺平的，如果抽象形本質上就是三維的話），使得紙張能收合成與抽象形相似的基本形。存在一個通用的演算法能夠從任何有效的地圖構造出展開圖，但地圖的概念也可以套用在箱形褶、六角褶和 22.5° 系統的框架之上。

如同標題所暗示地，我們會在 ERM 中看到許多地理學上的名詞，其中一個就是「湖」，我等一下就會解釋。

在這篇文章中，我主要會聚焦在第二個步驟的階段之上，因為第一個步驟算是滿直截了當的、而第三個步驟對這篇簡介來說太技術性了；不過我也會簡略說明那兩個步驟的事情。

核心想法

為了要了解 ERM 的核心想法（以及它的名稱如何而來），我們必須回顧一下樹狀理論基於的圓河包裝。圓河包裝的核心想法可以如下描述：每一個角片都必須佔據一個圓形區域、其半徑等於該角片的長度，而樹狀結構中每一個非葉邊都必須佔據一條河、其寬度等於該邊的長度。。

然而，圓也可以被視為是流成一圈且僅包住了一個點的河。於是我們可以把上面的描述簡化成如下型式：樹狀結構中的每一條邊，無論是不是葉邊，都必須佔據一條寬度等於該邊長度的河。

同時也注意到，河的用意是要分離開其兩側的點，以確保它們每一對之間都有足夠的距離。也就是說，給定樹狀結構中的一條邊，對於樹狀結構上任何一對位於該邊兩側的頂點，它們在紙上對應的兩個點、也一定必須被分開到至少等於該邊長度的距離。這是基於摺紙的基本定律：兩點之間的距離在紙張經過摺疊之後不可能變大。

事實上這個基本定律適用於任何的模型，而不只是單軸模型。考慮一般的抽象形中的一條邊 \overline{AB} （或者是自成一維元件、或者是二維元件的一條邊、或是三維元件的一條邊）。我們定義抽象形中一個頂點的複製為紙張上的一個點、該點最終會被摺到該頂點在基本形中的對應位置之上。根據這個定義以及基本定律，頂點 A 的所有複製都應該要和頂點 B 的複製被分開至少 \ell:=\lvert\overline{AB}\rvert 的距離，也就是說在紙張上應該要有一條寬度為 \ell 的河流經這兩組點之間。對於 A 的一個複製和 B 的一個複製、使得它們之間的距離恰好為 \ell 者，很明顯地它們之間的線段必然最終被摺到最終模型的 \overline{AB} 類似地，我們就稱這個線段為 \overline{AB} 的複製。於是對應於 \overline{AB} 邊的河就會流經若干個 \overline{AB} 邊的複製。但它要如何終結？

在圓河包裝中，一條河只有兩種可能的終結方式：迴流至自身成一圈、或是流到紙張的原邊。在第一種情況當中，該河最終會被摺成一個如圖四左邊所示的管狀結構（其一側可能會收縮成一點）。在第二種情況當中，摺好的河會有一個開，如圖四的右邊所示。對於 ERM 抽象形中的一維邊來說，這些都是基本上一樣的。

不過對於二三維元件的邊來說，事情就稍微有所不同了。如果一條邊所涉及的、抽象形中的面（或者自成一個二維元件、或者是三維多面體的一個面）只有一個（例如，一個開腹動物腹部上的邊、或是面具的邊緣），那麼其河的其中一端就必須連接至該邊的一個複製、而另一端則必須流至原邊。最終它會摺成像圖五左邊的樣子。

如果那是一個由兩個面所共用的邊，那麼其河就必須連接兩個面的複製，並且變成像圖五右邊的那樣。於是很合理地可以將面的複製稱之為湖，因為那就是現實世界中河所連接的東西。我同時也定義海為紙張的原邊加上紙張未使用的角落區域（通常那些在收合的第一個步驟中就會被摺到底下去）。現在我們就可以將 ERM 的核心想法描述如下：

給予一個所有的面都是凸多邊形的抽象形，每一個面都必須對應於一個形狀大小相同的湖，而每一條邊都必須佔據一條寬度等於該邊長度的河（長度則可以為零，如果它立刻連接著兩個湖的話）。這些河或著迴流至自身、連接至湖上同一條邊的複製，或者流至海中。

（我稍後會再討論到具有凹多邊形面的抽象形，例如像圖二的車子側面那樣。）

當我需要區分 ERM 中的河和樹狀方法中的單軸河時，我會特別使用「邊河」這一則稱呼。我們可能會不禁猜想邊河的行為表現跟單軸河很類似，例如不會重疊；但其實邊河的行為比較複雜一點。不過在我們討論到那邊之前，讓我們先來看一個基本的例子來感受一下 ERM 的核心想法。

第一個例子

回到圖三描繪的房子。如果沒有旗子，且並沒有要求我們要做出房子的底面的話，滿容易就可以想出如圖六所示的展開圖的。這個模式是直接摺成三維的、並非可摺平的，不過其結構相當地單純直截、不太需要額外多加解釋。

即使是這麼單純的展開圖，我們也能觀察到 ERM 的運作。在圖七當中，湖是畫成藍色而河是畫成水藍色。剩餘的黃色區域稱為陸地，其定義為任何沒有被水域覆蓋到的區域。黑色線條是湖、河和陸地的邊界，而紅色線條則是脊線。很自然地，我們會把這樣的一種描繪出陸地和水域分佈的圖稱為地圖。觀察一下抽象形當中的每一條邊都對應到了地圖中的某一條河（可能長度為零）、河在遇到脊線的時候會改變方向、以及它們是如何連接同一條邊的不同複製的。

概念式地圖

現在讓我們來把 ERM 的概念再往前進一步、並且如同圖三那樣在房屋上面加上旗子。當我們要進行複雜的設計時，一個很有用的方法事先畫出概念式地圖，那是一種並不精確描繪、而只是粗略示意河的流動的地圖。為了展示起見，讓我將各個頂點如圖八這樣加以命名。

概念式地圖用紙和鉛筆就可以畫了，並不需要任何工具或軟體。因此，底下我將故意使用我的手繪圖稿來示範。圖九跟圖七是一樣的，不過是以概念式的方式描繪。我個人在手繪圖中使用雙向箭頭來表示河流。

再來，讓我想像一下在這個設計當中加入一個旗子，特別是要加在點 E 的位置上。很顯然地，目前在點 E 附近並沒有任何空間可以讓我們加入任何東西。因此，讓我們把這些湖的距離拉開以騰出一些空間來。但在我們這麼做的時候，要記得邊的複製還是得由河來連接。

在圖十當中，我們旋轉了對應於屋頂的湖，並且將一面牆移到遠離其它湖的地方去。如此便在中間創造出了一些空間，可能夠我們加入一些東西進去。但很容易看得出來這個概念式地圖是非常沒有效率的。不僅現在整個佈局看起來不像我們最愛的正方形而倒像是個長方形，同時也觀察到那些用來將那面牆連接到其餘湖的冗長河流。要克服這些問題，關鍵就在於注意到同一條邊的兩個複製未必總是要由同一條何來連接。取而代之地，它們可以各自連接到一條河、且兩條河都流到海裡去。在圖十一中，我們將 \overline{EG} 河和 \overline{GK} 河拆了開來，而現在事情就好得多了。整體的佈局看起來更像是個正方行了，且我們也有更多的空間可以來放旗子。

現在，我們知道旗竿、也就是 \overline{CE} 邊，同樣也必須對應一條河。這條河必須將房屋的湖跟旗子表面的湖分離開來，所以一個合理的猜測會是像圖十二這樣。注意到 \overline{CE} 河流過了整張紙，同時也注意到我們同時配置了旗子的正反兩面，以便額外的紙張可以被塞在兩面的中間。

這不算太差，不過注意到 \overline{AC} 的流動方式似乎阻礙了 \overline{CE} 去貼近那兩條 \overline{CD} 河。當然我們可以去讓 \overline{CE} 河蜿蜒流動以便將東西包裝得更緊密，但是這麼做的話會讓 CP 比較難以用簡單的方式來構造。取而代之地，讓我們來旋轉其中的一些湖，以便東西能夠更容易地被包裝起來，如圖十三所示。

如今不但河流更加緊密了，整體佈局看起來也能夠很理想地放到一個對角線放置的正方形當中。照著這個概念式地圖有很多方法可以造出 CP，而其中一種方法如圖十四所示，其中我稍微調整了一下比例以便所有的東西能夠很完美地以 22.5° 系統呈現。同時我也將其中一面牆的湖做了兩份，以便讓整個 CP 是對稱的。在這張圖當中，CP 是以灰線表示、重疊在 ERM 地圖之上。（棕色線是用來找出參考點用的，假如有人想試著摺這個模型的話。）而圖十五則是完成的模型。

這邊的重點不是在於如何把地圖轉換成 CP 的細節，而是在於展示概念式地圖可以如何地幫助我們想像可能的配置、而不用煩惱一些細節，以及河的流動改變如何地影響著我們的包裝。

陸地

每一條河都有兩個河岸（也就是其側邊的邊界線），各自對應於該河所對應的邊的一個端點。在圖十四中有若干塊的陸地，每一塊陸地都是由若干河岸所包圍著的，而注意到對於特定一塊陸地來說，其周圍的河岸都是對應於抽象形當中的同一個頂點。例如，圖十四中最大的兩塊陸地都是由 E-河岸所包圍的。此時，我們會稱之為 E-陸地。概念上來說，一塊陸地代表著那一個頂點的收合，也就是說，大致上，該部份的紙張最終會被收合成一個對應頂點附近的一個小結構。這對於剛才提到的 E-陸地來說尤其容易觀察出來，只要如圖十六這樣標出所有陸地周圍的點 E 複製即可。

陸地具有各種不同的大小與名稱。很小的陸地稱為島（一個常見的例子是箱形褶中使用的一單位塞子），大塊的陸地稱為大陸，那看似是效率的浪費但有的時候是不可避免的。一個大陸的例子可見於圖十七的 12 面預備基本形（那有點像 Montroll 的五面方形，但有著 12 個面；它例如可以被用來摺出一個具有九個頭的紙鶴），其中中央的大陸對應於基本形中最上面的那個頂點。雖然有著這個大陸的存在，這個佈局實際上已經是最佳的了，只是剛好我們對於這個抽象形來說在那個地方不需要造出額外的特徵罷了。對於像這樣的模型，主要的挑戰在於如何將大陸收合、使得產生的結構盡可能地薄、但同時又小到不至於干擾到其它的結構。

但在 ERM 中最重要的陸地類型則是半島，它跟抽象形中的凹點的概念有密切的關聯。在二維的情況中，我們說抽象形中的兩條邊構成了一個凹點、如果它們之間的角度（沿著模型的那一側）大於 180° 的話。（在三維的情況中的定義比較複雜，我們在此省略。）圖十八是一個抽象形的例子、其中 \overline{AB} 邊和 \overline{AC} 邊在頂點 A 處構成了一個凹點。

在大部分的情況中，當抽象形中有凹點時，我們隱約就是指定了那個負空間應該要被完全地淨空、而不該有額外的層次被暴露出來。此時，對應於形成凹點的兩條邊的兩條河一定不能共用河岸（這兩條河可以允許在一點上碰觸，但是不能夠有一段非零長度的共用河岸），否則要淨空負空間就是不可能的（假定我們要求模型要摺平的話）、而一定會有額外的層次被暴露出來，無論我們怎麼摺都一樣。特別是，如果這兩條河平行地流動，那麼我們一定要在它們中間保留一個間隔以避免那些我稱之為連片的層次，其定義為任何不屬於原本的抽象形中的可見層次。這個間隔自然會在兩條河之間形成一個狹長的陸地，也就是我所謂的半島。

一個有趣的問題是，這個半島必須要多寬才夠？或許很令人驚訝的是，只要有一個寬度非零的半島，不管多窄，總是存在一個 CP 可以將它摺平且沒有連片！然而，但書在於，這個半島越是狹窄，就會需要越多的摺痕才能夠擺脫連片，而且隨著半島的寬度趨近於零、局部的模型厚度可以趨近於無窮大！所以雖然較窄的半島意味著較好的效率、亦即技術上來說模型相對於紙張面積來說的平均厚度會比較少，可是在這邊一直追求效率反而會導致局部變得更厚！

所以一般來說，我們會讓半島不要太寬以免浪費了太多效率、但也不會讓它太窄以免太過難摺。對於箱形褶來說，合理地就是採用一單位寬的半島 ¹。作為範例，考慮將圖十八的抽象形在 8 × 8 的格子中用箱形褶來摺出。既然 \lvert\overline{AB}\rvert=3 且 \lvert\overline{AC}\rvert=3，乍看之下似乎讓這兩條邊連接至寬度為 3 的河、並且讓 B 點複製和 C 點的複製維持 6 的距離就足夠了；但事實上這是不夠的，因為 A 點是一個凹點。因此我們在它們中間加上了一個一單位的半島，而藉由在 B 和 C之間使用畢氏伸展，8 × 8 的紙張剛好有著足夠的空間可以放得下它們全部。其結果如圖十九所示。注意到半島通常都會在 CP 中被填入 Z 字形的摺痕（但也有可能因為摺痕變化而沒有）。

在我的卍字符號（如圖二十所示）中，可以看到抽象形中八個標示出來的凹點會對應到地圖中的八個半島。同時也注意到在四個地方中、構成凹點的兩條河在一個角落上有碰到，這如同前述是可以允許的。

重疊河與瀑布

或許比半島更加令人意外的是，在另外一些情況中，邊河其實可以重疊。這當抽象形中的元件都是一維的時候（亦即抽象形是一個樹狀結構）是不可能的，但只要它具有二維或三維的元件，我們就有機會可以利用這些元件的內部來讓這些河重疊以增進效率。

一個例子如圖二十一所示。在這邊我們想要在 8 × 8 的格子上造出左邊的抽象形。藉由我們前面對於凹點的理解，我們可以很快地確認出配置這些湖的唯一方法（假設一切都必須照著箱形褶的框架走）就是把它們放在如中間的圖所示的位置之上。然而，這麼一來 \overline{AB} 河和 \overline{AC} 河看起來似乎是在陰影處重疊了。奇妙的是，這樣的重疊其實是合法的，因為 B 點和 C 點之間（沿著模型上走的）最短距離並不是 4、而是 \sqrt{8}，因此只要 B 點和 C 點的複製之間保持著那樣的距離，河的重疊是完全沒問題的。最終的 CP 如右圖所示。

換句話說，如果兩條邊之間的角度小於 180°，那麼視角度而定，它們之間就可以被允許不同程度的重疊。這件事很值得記在心上，因為它常常能幫助我們在狹窄的空間中塞入河流。然而，這也可能使得地圖變得難以閱讀，因為任何部份的紙張都有可能會有超過一種的身份。在某些其況中，可以簡單地像我們在圖二十一中做的那樣用陰影來表示重疊、而不至於造成太多疑惑；但在另外的一些情況中，重疊有可能會又大又複雜，甚至有可能會出現河跟半島重疊的情況（看我們怎麼去解讀那部份的紙張身份而定）。

為了讓複雜的重疊容易被理解，我提出了瀑布的概念。瀑布是地圖上的一條線，它具有著奇妙的性質、可以讓一條河從一個地方瞬間移動到另外一個地方。示範起見，考慮圖二十二左邊的抽象形，以及中間的那個可以將它摺平的 CP（對於這個抽象形來說，這個 CP 似乎效率並非最佳的，不過這是因為這個例子是從一個更大的設計中擷取出來的，而在外面有著其它的考量）。這個 CP 背後的 ERM 地圖應該長什麼樣子？

抽象形中大部份的邊都很容易對應到右邊所示的部份完成地圖之上，除了 \overline{AB} 邊和 \overline{AC} 邊之外。我們可能會猜想它們對應到兩條河、它們以某種方式流經右邊所示的問號區域、並連接著那兩條邊的複製。但如果我們仔細檢視從這個 CP 摺出的實際結構，我們會發現這兩條邊的複製各自都連出了一條流到海裡去的河，並且在流動過程中以圖二十三左邊所示的複雜方式跟另外的河重疊。

這樣的表示方式明顯地很差，因為它需要用很多的箭頭來表示出河到底是怎麼流動的。相較之下，右邊的瀑布表示法就乾淨得多、且也容易理解。在這張圖中，瀑布以紫色線條表示。我們想像當河進入瀑布的其中一部份時，它會被傳送到瀑布的另外一端，這麼一來 \overline{AB} 邊和 \overline{AC} 邊都對應了單一的河流了。（我在這張圖中畫出箭頭以便解說，不過多數情況中，紫色線條本身就足以指示出河是怎麼被傳送的了。）在實際的摺疊過程中，紫線的兩個部份會被摺在一起，於是河的兩個片段會是面對面地連接、而不是透過脊線來反射。

背面湖與沼澤

現在讓我們回到稍早提到的一個問題：如果抽象形裡面有凹多邊形的面那要怎麼辦？有幾種可能的辦法。第一種、且可能也是最典雅的辦法是利用曲線摺和曲面來製造出凹面的外觀（抽象形的定義也可以加以推廣以涵蓋曲線摺的情況）、而不用在面的上面加上額外的邊、或「縫線」。第二種辦法是將凹面分割成凸的子面、並且依樣進行。這樣做的話會在原本的面上面加上縫線，這就審美角度來說可能可以也可能不能被接受。第三種辦法是只有當該面的凹點是由「該面被另外一個面所覆蓋」產生時適用，如圖二十四左邊所示。

在圖二十四左邊的抽象形中，其中一個面看起來是凹的，但如果我們去想像、它其實有一個隱藏的部份是在另外一個面的下層（如虛線所示；通常我不會在抽象形中把虛線畫出來，這邊只是解說方便），那麼我們就可以把它當成是凸的面並且一樣照著 ERM 去處理它。為了要讓這樣的結構合理，我們必須在這兩個面之間加上另外一個三角形的面，該面只有當我們把抽象形「打開」成展開圖（幾何意義上的）時看得到。對應於這個隱藏面的湖就稱為是背面湖。

再加入了背面湖之後，我們就可以如同之前那樣繼續進行來產生 CP，如圖二十五的左邊所示。在中間可以看到一個地圖是該 CP 的較精確詮釋，其中的瀑布準確地反映了實際 CP 的結構，但是這樣的流向可能有點太過複雜，不太能在一開始就看得出來。在這種情況中，我偏好使用如右邊所示的、河流簡化過的地圖，它捕捉到了佈局的精髓而不至於過份精確。那樣的地圖也是我在設計步驟的概念式階段中會替該抽象形畫出的地圖。

當我們要替一個 CP 畫出 ERM 地圖時，總是有個問題在於地圖要畫得多精確。我們希望地圖能夠盡量反映出實際的結構，但是同時也不希望它太過精確、乃至把佈局的精髓所在都掩蓋掉了。我傾向於中庸之道，找出一個我覺得在這兩個目標之間有達到平衡的表示程度。

現在我們看到了在抽象形中加入背面、可以幫助我們處理有一些面重疊在另外一些面上的抽象形。然而，背面並不一定要在地圖中被配置成單一一個無縫的湖。既然該面在完成的模型中是被隱藏起來的，通常我們並不會介意它上面有縫線。因此，我們可能可以允許背面是由若干個較小的湖所組合而成的。

為什麼我們會想這樣做？雖然單一的背面湖在概念上比較容易掌握、且佈局上也比較容易安排，但它卻有個缺點是會在可能的佈局解答上施加了很大的限制。藉由將湖拆成若干個小塊，我們在可能的佈局上就有著較大的自由度，而在某些情況中，這樣做是唯一能讓東西放入想要的格子大小的辦法。

例如，考慮來在 8 × 8 的格子上設計圖二十六左邊的基本形。在這個格子大小之下，三個湖的位置都會被唯一確定下來，而剩下的空間並無法容納一個背面湖 ²。因此取而代之地，我們將背面分解成沼澤，如深綠色區域所示。這個區域最終會被摺成該背面，上面有一道縫線。對應的 CP 如右圖所示。

補充一提，各位可能會注意到圖二十一的重疊河也可以用背面湖來重新詮釋。確實在很多情況中，同樣的 CP 可以被詮釋成不同的樣子。之所以我個人會選擇使用重疊河的詮釋，是因為對我來說，那樣的背面湖並沒有被抽象形暗示出來，而我不想讓人有一種「非得要能預見該背面湖的使用才能夠想出那樣的地圖」的錯誤印象。

應用

當我們試著在設計中套用 ERM 的時候，第一個步驟是畫出抽象形。在某些情況中（例如當套用到 22.5° 系統的時候）抽象形也可是概念式的，但是對於像箱形褶或六角褶這種格子系統來說，比較理想的是精確定義的抽象形。為了要找出抽象形的理想尺度，我常常會用剪刀和黏膠做出紙雕模型、來確認基本形可以被塑形成為對課題來說比例恰當的模型。我們同時也需要指定抽象形中所有隱藏的細節，例如背面和重疊分支的數量等等。

第二個步驟是規劃佈局，先從畫出概念式地圖開始。一旦一個概念式地圖看起來好像可行了，我們就可以開始嘗試精確地將元素配置在我們的紙張上。湖的精確位置可以藉由考慮頂點之間的必要距離（也就是去考慮從一個頂點沿著模型上走到另外一個頂點要多遠、再加上對應於凹點的額外必要距離）來決定出來。在箱形褶當中，我們也必須要考慮奇偶性原理的效應，該原理說的是，同一個頂點的任兩個複製之間的計程車距離必須是偶數（否則就會必須用上半單位的結構，這有可能不是樂見的事）。

最後一個步驟就是將地圖轉換成山摺谷摺的 CP，而這部份的細節超過本簡介的篇幅了。不過至少對於箱形褶來說，很多的摺痕模式都是為人熟知的，例如河會變成進進出出的褶片、而半島通常會有 Z 字形的摺痕。如果不確定的話，我們總是可以對選擇性的局部進行試摺、並且用試誤法來找出可行的 CP。而在最一般的情況中，總是有個可以把 ERM 地圖轉換成 CP 的通用演算法可以當作最後一招，該演算法跟舘知宏提出的 Origamizer 演算法非常之相似（再加上一些額外的東西）。

我自從 2014 年開始就使用 ERM 在我自己的設計之上，從中等複雜度到超複雜系模型都有。其中一個 ERM 用得最凶的模型是我的馴化短毛貓，其地圖和抽象形如圖二十七所示。該模型用到了所有我們目前為止介紹到的東西：凹點處使用半島（其中有一些是兩單位寬的，因為其附近的褶片用的是兩單位寬、或是基於策略性的理由）、背面湖跟沼澤、重疊河和瀑布，以及耳朵處使用了三維結構。各位可以將它和圖二十八的 CP 與摺好的基本形做比較。

另一個我最近的 ERM 設計是神仙魚，如圖二十九所示。在這個設計當中，抽象形有著更多不是跟格子正交的邊，這使得它需要更複雜地規劃背面湖才能讓它適用箱形褶的框架。幸好有 ERM 的威力，我得以在最終的模型中取得非常令人滿意的比例。

值得一提的是，在圖二十七與二十九中，有許多地方都是用了簡化過的表示法的。例如，靠近圖二十九的左上角處，技術上來說那其實應該是兩條重疊的河，如圖三十的左邊所示。對我來說那有點不必要地太精確了，所以我將它們呈現成單一一條涵蓋了基本形中兩條邊的河。

結語

這邊簡介就到此為止。我想感謝所有那些幫助我提煉 ERM 的想法與呈現的朋友們，尤其是 Drew Heskett 和 Brandon Wong。Drew 也已經很成功地將 ERM 套用至若干他的設計之上。我希望 ERM 能啟發更多設計者來創造出過去在單軸範式之下難以達成或不可能達成的設計。